ระบบเหตุผลทางคณิตศาสตร์

สวัสดีค่ะ เป็นยังไงกันบ้างค่ะ กับสามบทความที่กลุ่มของพวกเราได้สรรหาสาระดีๆมาให้เพื่อนๆ ได้อ่านกัน กลุ่มของพวกเราหวังเป็นอย่างยิ่งว่า เพื่อนๆ คงจะได้รับความรู้กันไปบ้างไม่มากก็น้อย ในบทความนี้ เพื่อนๆ จะได้รู้จักกับระบบเหตุผลทางคณิตศาสตร์กัน คงจะอยากรู้กันบ้างแล้ว ว่าพวกเราชาว math จะมีการระบบการให้เหตุผลกันอย่างไร แตกต่างจาก การให้เหตุผลทางวิทยาศาสตร์หรือเปล่าน๊า...... ไปลุยเนื้อหาพร้อมพวกเรากันเลยค่ะ

มนุษย์เรานั้นรู้จักการให้เหตุผลมาแต่ช้านานแล้ว เพื่อเป็นการสนับสนุนความเชื่อหรือหาความจริงหรือข้อสรุปในเรื่องใดเรื่องหนึ่งมาตั้งแต่ครั้งโบราณ การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่ สำคัญ มีอยู่ 2 วิธี ได้แก่ การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) และ การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) อุปนัยเป็นอย่างไรนะ แตกต่างจากนิรนัยอย่างไร มาดูความหมายกันต่อค่ะ

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการให้เหตุผลโดยสรุปผลจากเหตุย่อยๆ หลายๆ เหตุ หรือความรู้ย่อยๆ หลายๆ ความรู้ โดยที่แต่ละเหตุหรือความรู้นั้นเป็นอิสระต่อกัน
ตัวอย่างที่ 1 ทุก ๆ วัน ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก
จึงสรุปว่า: ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตกเสมอ
ตัวอย่างที่ 2 ไข่เป็ดที่คุณแม่ซื้อมามีสีขาวทุกใบ
จึงสรุปว่า: ไข่เป็ดมีสีขาว
การให้เหตุผลแบบอุปนัยเราได้จากการสังเกต ประสบการณ์หรือการทดลองหลายๆ ครั้ง แล้วสรุปผลเป็นข้อความรู้ใหม่ให้เป็นหมวดหมู่ เป็นแม่บทที่วางนัยทั่วไป ( generalization ) จึงทำให้ผลสรุปกว้างขึ้น ซึ่งผลสรุปเป็นการคาดคะเนที่อาจเป็นไปได้เท่านั้น แต่ถ้าการสังเกต ประสบการณ์และการทดลองมีความรัดกุม ละเอียด เที่ยงตรงและถูกต้องแล้วผลสรุปนั้นก็จะเที่ยงตรงและถูกต้องสมบูรณ์ด้วย นั่นคือถ้าเหตุผลเป็นจริงหรือถูกต้องผลสรุปก็จะเป็นสิ่งถูกต้องด้วย การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะพบมากในวิชาวิทยาศาสตร์ เพราะเป็นวิชาเกี่ยวกับการทดลอง คือต้องสังเกต ต้องคิด ต้องทดลองหลาย ๆ ครั้ง แล้วจึงสรุปผล ก่อนจะสรุปต้องมีการตรวจสอบซ้ำแล้วซ้ำอีก ในทางคณิตศาสตร์ มีการใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยเพื่อช่วยสรุปคำตอบ หรือช่วย
ในการแก้ปัญหา เช่น แบบรูปของจำนวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 เราสามารถหาจำนวนนับถัดจาก 10 อีก 5 จำนวน โดยสังเกตจากแบบรูปของจำนวน 1 – 10 พบว่า มีค่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง ดังนั้น จำนวนอีก 5 จำนวน ก็จะเป็น 11, 12, 13, 14 และ 15 จำนวน 5 จำนวนดังกล่าว จึงเป็นตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

ข้อสังเกตการให้เหตุผลแบบอุปนัย
1. จำนวนข้อมูลที่ได้มาอ้างอิง อาจไม่เพียงพอกับการตั้งข้อสรุป เช่น ถ้าไปทานส้มตำที่ร้านอาหาร แห่งหนึ่งแล้วท้องเสีย แล้วสรุปว่า ส้มตำนั้นทำให้ท้องเสีย การสรุปเหตุการณ์นั้นอาจเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว ย่อมเชื่อถือได้น้อยกว่าการที่ไปรับประทานส้มตำบ่อย ๆ แล้วท้องเสียเกือบทุกครั้ง
2. จากข้อมูลเดียวกัน หากผู้สรุปคิดต่างกัน อาจได้ข้อสรุปที่ไม่ตรงกัน
3. การสรุปโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย บางครั้งขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของผู้สรุป
4. การสรุปโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย แม้ว่าได้สังเกตหรือทดลองหลายครั้งแล้ว แต่อาจเกิดข้อผิดพลาดก็ได้

การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปผลจากเหตุใหญ่หรือข้อความรู้ใหญ่หรือข้อความรู้ที่เป็นแม่บทมาเป็นข้อความรู้ย่อย เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป
ตัวอย่างที่ 4
ปลาโลมาทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม และสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม ทุกตัวมีปอด ดังนั้น ปลาโลมาทุกตัวมีปอด
ตัวอย่างที่ 5
แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา และสัตว์ที่มี 6 ขา ทุกตัวมีปีก ดังนั้น แมงมุมทุกตัวมีปีก
จะเห็นได้ว่าผลสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบนิรนัยนี้ถูกบังคับจากเหตุหรือข้อความรู้เดิมที่ยอมรับกันมาแล้วอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้นผลสรุปที่ได้จึงอยู่ในวงจำกัดเฉพาะเหตุเท่านั้นจะสรุปผลกว้างกว่านี้ไม่ได้ การให้เหตุผลแบบนี้พบมากในวิชาคณิตศาสตร์ โดยจะนำเอาอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์และหลักทางตรรกศาสตร์มาช่วยให้ได้ผลสรุป ซึ่งถ้าหากสรุปสมเหตุสมผล(Valid) ก็จะเกิดเป็นกฎ (law)หรือทฤษฎีบท(Theorem ) ตามมา
การตรวจสอบความสมเหตุสมผล
ในการให้เหตุผลแบบนิรนัย รวมถึงจากตัวอย่าง จะเห็นว่า การยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วหาข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับ ซึ่งจะเรียกว่า ผล การสรุปผลจะสรุปได้ถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นการสรุปได้อย่างสมเหตุสมผล (valid) เช่น

เหตุ ช้างทุกตัวบินได้
ตุ๊กตาบินได้
ผล ตุ๊กตาเป็นช้าง
การสรุปในข้อนี้ไม่สมเหตุสมผล (invalid) แม้ว่าข้ออ้างทั้งสองจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบว่า ช้างบินได้ ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นที่บินได้ต้องเป็นช้างเสมอไปข้อสรุปดังกล่าวจึงไม่สมเหตุสมผล
สรุป การให้เหตุผลแบบนิรนัย ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ ยอมรับเหตุเป็นจริงทุกข้อและการสรุปสมเหตุสมผล

โครงสร้างคณิตศาสตร์

หลังจากเพื่อนๆ ได้ศึกษา บทความในสองหัวข้อที่ผ่านมาแล้ว เพื่อนๆ หลายคนคงจะสงสัย เพราะนอกจากจะได้ศึกษาความหมายของคำว่าคณิตศาสตร์กันไปแล้ว ยังมีโครงสร้าง ตัวที่ก่อให้เกิดคณิตศาสตร์ ศาสตร์ที่ทำให้เราหลายคนคิดกันจนปวดหัว...... กลุ่ม we_ math ของพวกเราได้สรรหามาให้เพื่อนๆได้เรียนรู้เกี่ยวกับ โครงสร้างของคณิตศาสตร์ พร้อมแล้วลุยกันเลยค่ะ

โครงสร้างคณิตศาสตร์

1. อนิยาม (Undefined Terms) หมายถึง คำที่ไม่ต้องให้ความหมายหรือ คำจำกัดความ แต่เมื่อกล่าวถึงต้องมีความเข้าใจตรงกัน เนื่องจากมีความหมายชัดเจนอยู่ในตัวเอง เป็นคำที่ทุกคนเข้าใจตรงกันว่าหมายถึงสิ่งใด โดยอาจจะใช้วิธีการยกตัวอย่างหรือใช้ความเข้าใจด้วยปฏิภาณ ตัวอย่างของอนิยามในคณิตศาสตร์ เช่น จุด เส้นตรง เท่ากัน มากกว่า น้อยกว่า ค่าคงที่ เซต ระนาบ

2. นิยาม (Definition or Defined Terms) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมาย หรือคำจำกัดความไว้ชัดเจน โดยการนำอนิยามมาอธิบายหรือกำหนดคุณลักษณะของสิ่งเหล่านั้น เช่น มุมฉาก หมายถึง มุมที่มีขนาด 90 องศา หรือ คำว่า “ เส้น ” ไปนิยามคำว่าเส้นตรง เส้นขนาน

3. สัจพจน์ ( Axioms) หรือ กติกา (Postulate) หรือ ข้อตกลงเบื้องต้น (Assumption) หมายถึง ข้อความที่ตกลงหรือยอมรับว่าเป็นจริง โดยไม่ต้องพิสูจน์ มักจะแสดงความสัมพันธ์ของนิยามหรืออนิยาม ที่เป็นพื้นฐานมากจนไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ เช่น เส้นขนานย่อมไม่ตัดกันเลย

4. ทฤษฎีบท (Theorems) หมายถึง ผลสรุปที่ได้จากข้อมูลชุดหนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ทุกกรณี การพิสูจน์ทฤษฎีจะใช้วิธีการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ โดยการนำเอานิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทที่ได้พิสูจน์แล้วไปสนับสนุนให้เป็นเหตุเป็นผล เพื่อแสดงว่าทฤษฎีเป็นจริง ความเป็นจริงในทุกกรณีของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความสมเหตุสมผล ไม่ได้หมายถึงข้อเท็จจริง แต่ความสมเหตุ สมผล อาจจะตรงกับข้อเท็จจริงทุกกรณีก็ได้ ขึ้นอยู่กับกติกาที่ใช้เป็นฐานของทฤษฎีนั้น ถ้ากติกาตรงกับข้อเท็จจริง ทฤษฎีที่พิสูจน์โดยใช้กติกานั้นอ้างอิงเป็นเหตุเป็นผลย่อมเป็นจริง ตรงกับข้อเท็จจริงด้วย เช่น เส้นตรง สองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน

ปรัชญาการเรียนการสอน

ทำไม ต้องเรียนรู้ปรัชญาการเรียนการสอน ? ปรัชญาการเรียนการสอนมีปรัชญา ใด บ้าง? ปรัชญาการเรียนการสอนแบบใดบ้างที่ควรนำมาใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์? นี้คือคำถามที่กลุ่มของพวกเรา ต้องการคำตอบในการค้นคว้าข้อมูลเพื่อนำสาระดีๆ มาเสนอให้แก่เพื่อนๆ

ในการเรียนการสอน ครูแต่ละคนมีเทคนิคใน การสอนที่แตกต่างกัน ทำไมครูบ้างคน เด็กชอบและสนใจเรียน บอกกล่าวสิ่งใดเด็กก็ปฏิบัติตาม ให้ความเคารพยำเกรง และทำไมครูอีกคน เด็กไม่ชอบไม่สนใจ และไม่เชื่อฟัง ทำไมเด็กปฏิบัติตนกับครูแตกต่างกัน นี่คือสิ่งที่นำมาซึ่งการเรียนรู้ปรัชญาการเรียนการสอน รวมถึงจิตวิทยาที่ต้องใช้ในการเรียนการสอนนั้นๆด้วย ในทางจิตวิทยาการเรียนรู้ของคนและสัตว์ มีเหมือนกันอยู่อย่างหนึ่งคือ ถ้าทำกิจกรรมได้ถูกต้องจะเป็นการเสริมแรง (Reinforcement) ในการปฏิบัติกิจกรรมต่อๆไป จะแตกต่างกันตรงที่สัตว์ต้องการแรงเสริมเป็นวัตถุ เช่น อาหาร แต่มนุษย์ต้ิองการวัตถุหรือความสุขใจก็ได้ ผู้เรียนทุกคนจะปฏิบัติกิจกรรมได้ถูกต้อง ครู อาจารย์ ที่ยึดหลักปรัชญาการเรียนการสอนของกลุ่มปรัชญาการศึกษาที่เรียกว่า มนุษย์นิยมวิทยา (Humanities Education) ที่มุ่งจัดการเรียนการสอนให้ผู้เรียนทุกคนสามารถปฏิบัติกิจกรรมการเรียนการสอนได้ถูกต้อง เราจะมาดูปรัชญาที่ กลุ่มของพวกเราได้ค้นคว้ามานำเสนอเพื่อนๆกันนะค่ะ ว่ามีปรัชญาใดบ้างที่เหมาะสมกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ หรือปรัชญาใดบ้างที่สามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการเรียนการสอนได้บ้าง แต่ก่อนอื่นเราควรจะรู้หลักการของปรัชญานั้นๆกันก่อนค่ะ เริ่มกันที่

1. ปรัชญาการศึกษาของไทย
ปรัชญาการศึกษาไทยตามแนวพระราชดำริของพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวภูมิพลอดุลยเดช การ ศึกษาต้องมุ่งพัฒนาและเพิ่มพูนองค์ความรู้ใหม่ เพื่อให้บรรลุจุดมุ่งหมายของการศึกษาควรจัดการศึกษาด้านวิชาการโดยการต่อยอด ความรู้ควบคู่ไปกับการฝึกฝนขัดเกลาทางความคิด ความประพฤติ และคุณธรรม
ปรัชญาการศึกษาไทยตามแนวพุทธธรรมจากการวิเคราะห์ของสาโรสบัวศรี การ ศึกษาตามความหมายในนัยทางพระพุทธศาสนา คือ ขันธ์ 5 แนวทางตามหลักพุทธธรรม คือ มรรค 8 ซึ่งย่อได้เป็น ศีล สมาธิ และปัญญา นอกจากนั้นควรให้ผู้เรียนได้ศึกษาเรียนรู้เกี่ยวกับ ตนเอง สิ่งแวดล้อม และการปฏิสัมพันธ์ระหว่างตนเองกับสิ่งแวดล้อม การจัดการเรียนการสอนต้องเป็นไปอย่างเหมาะสม ได้แก่ การสอนตามขั้นทั้ง สี่ ของอริยสัจ ได้แก่ ทุกข์ สมุทัย นิโรธ มรรค

ปรัชญาสารัตถนิยม เป็นปรัชญาการศึกษาที่เชื่อว่า การศึกษา คือ การอนุรักษ์ ถ่ายทอด ความรู้และวัฒนธรรมอันดีงามของสังคม จากคนรุ่นหนึ่งไปสู่คนอีกรุ่นหนึ่ง

แนวคิดที่แสดงถึงจุดเด่นของ”สารัตถะ”ลักษณะที่พบในการศึกษา พบได้ดังต่อไปนี้
- เน้นครูเป็นศูนย์กลาง - ถ่ายทอดมรดกทางวัฒนธรรม
- เน้นเนื้อหาวิชาและวินัยความประพฤติของผู้เรียน - เป็นการบริหารแบบสั่งการ - ยึดเอามาตรฐานเดียวกัน รวมอำนาจ ( เผด็จการ ) - หลักสูตรเน้นด้านมรดกวัฒนธรรม - วิธีในการสอนแบบถ่ายทอดความรู้จากครู - การวัดผลโดยการทดสอบความจำ
- บรรยายเป็นหลัก และถามตอบถึงเนื้อหาเพื่อทำความเข้าใจไม่มีการขัดแย้งและโต้ตอบ
- หลักสูตรเน้นเนื้อหา และจัดเตรียมไว้ล่วงหน้า จัดลำดับความยากง่าย
- ประเมินผู้เรียนจากทฤษฎี ( เนื้อหาวิชามากกว่าการปฏิบัติ )
- ผู้บริหารวินิจฉัยและตัดสินใจแต่เพียงผู้เดียว และยึดกฎระเบียบและกฎหมายเป็นสำคัญ

วิเคราะห์ข้อดี – ข้อเสีย ของ “ สารัตถนิยม ”
ข้อดี
1.เป็นการถ่ายทอดให้แก่ผู้ที่สืบทอดมรดกทางวัฒนธรรมและค่านิยมให้คงไว้สืบต่อไป
2. พัฒนาให้คนมีระเบียบวินัย เคารพกฎ กติกาของสังคม ไม่ละเมิดสิทธิของผู้อื่น
3. ขยันขันแข็งในการทำงาน รู้จักใช้สติปัญญาให้มาก
4. มีอุดมการณ์ รักษาอุดมคติอันดีงามของสังคม
5. ยึดเหตุผล และความถูกต้องเหมาะสมเป็นหลัก
6. ใช้สติปัญญาในการพัฒนาตนเองและแก้ปัญหา
7. ครูเป็นต้นแบบที่ดีมีคุณธรรม มีความรู้ และมีทักษะดีเป็นบุคคลที่มีคุณภาพ
8. มีการวางแผน และจัดเตรียมไว้ล่วงหน้า จัดลำดับความสำคัญของงาน
9. มีความจำดี และมีความรู้ในทางทฤษฎีมาก
10. ทำความเข้าใจในเนื้อหาสาระมากกว่าที่จะขัดแย้งและโต้ตอบ
ข้อเสีย
1. บุคคลที่จะถ่ายทอดมรดกทางวัฒนธรรม และค่านิยมไม่มีคุณภาพ ทำให้การสืบทอด เป็นไปไม่สมบูรณ์แบบ
2. เป็นการยึดอำนาจแบบเผด็จการ มีการสั่งการจากคนคนเดียว มีบทลงโทษรุนแรง
3. กฎระเบียบที่เคร่งครัดเกินไป ทำให้ต้องทนฝืนใจในการทำงาน หรือการเรียน ก่อให้เกิด
ความขัดแย้งและปัญหาสังคม
4.ขาดความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ขาดแนวคิดที่แปลกใหม่เพราะถูกสอนให้รับฟัง มากกว่าที่จะแสดงความคิดเห็น
5. ทำงานไม่เป็น หรือมีความรู้ทางทฤษฎีแต่การปฏิบัติล้มเหลว
6. คำนึงถึงมาตรฐานของวิชาชีพ ผลการทดสอบมากกว่าความแตกต่างระหว่างบุคคล
7. ในด้านผู้เรียนเป็นเพียงผู้รับฟังและทำความเข้าใจเท่านั้นไม่กล้าแสดง

ปรัชญาสัจนิยมวิทยา ปรัชญา นี้มีบางสิ่งที่มีคุณค่าถาวร คงที่ และไม่เปลี่ยนแปลง ได้แก่ ศาสนา ความดี ปรัชญานี้เชื่อว่า (KNELLER, 1964: 107 –111) คนมีธรรมชาติเหมือนกัน ทุกคน ดั้งนั้น การศึกษาจึงควรเป็นแบบเดียวกันสำหรับทุกคน และเนื่องจากมนุษย์มีคุณสมบัติแตกต่างจากสัตว์อื่นๆคือเป็นผู้สามารถใช้ เหตุผล ดังนั้นการศึกษาจึงควรเน้นการพัฒนาความมีเหตุผล และการใช้เหตุผล มนุษย์จำเป็นต้องใช้เหตุผลในการดำรงชีวิตและควบคุมกำกับตนเองมิใช่นึกจะทำ อะไรก็ทำได้ตามใจชอบ การ ศึกษาเป็นการเตรียมตัวเพื่อชีวิตเป็นสิ่งที่จะช่วยให้มนุษย์ปรับตัวให้เข้า กับความจริงแท้ที่แน่นอน ถาวรไม่เปลี่ยนแปลง มิใช่เป็นการปรับตัวให้เข้าโลกแห่งวัตถุ ซึ่งไม่ใช่ความจริงแท้

ลักษณะของการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
จัด ให้มุ่งเน้นพัฒนาสติปัญญาของผู้เรียน และเน้นให้ตะหนักถึงคุนค่าของสิ่งที่ดีงามที่ได้บรรจุไว้ในหลักสูตร วิที่สอนที่นิยมให้คือ การบรรยาย การอภิปราย การทดลองทางวิทยาศาสตร์เป็นต้น นอกจากนั้นจะเน้นในเรื่อง ระเบียบวินัย ความประพฤติขอลนักเรียนให้อยู่ในกรอบ บรรยายกาศในการเรียนการสอนจะเข้มงวด

ความคิดเห็นของกลุ่มข้าพเจ้า
1. แม้สภาพแวดล้อมจะแตกต่างกันไป แต่ธรรมชาติของมนุษย์ย่อมเหมือนกันทุกหนทุกแห่ง ดังนั้น การศึกษาสำหรับคนทุกคนจึงต้องเหมือนกัน
2. สติปัญญาและความมีเหตุผลเป็นลักษณะที่สำคัญที่สุดของมนุษย์ ดังนั้นมนุษย์จึงควรใช้สิ่งนี้ สำหรับควบคุมสัญชาตญาณฝ่ายต่ำของตน
3. หน้าที่หลักของการศึกษาก็คือการแสวงหาความรู้ซึ่งเป็นนิรันดร
4. การศึกษาไม่ใช่การเลียนแบบชีวิต แต่เป็นการเตรียมตัวเพื่อชีวิต5. ผู้เรียนควรได้เรียนรู้วิชาพื้นฐานบางอย่าง เพื่อให้ได้รู้จักความเป็นจริงอันถาวรของโลก ซึ่งได้แก่วิชา ภาษา ประวัติศาสตร์ คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ปรัชญาและวิจิตรศิลป์

ปรัชญาพิพัฒนิยม ปรัชญา นี้มีต้นกำเนิดมาจากปรัชญาแม่บทคือ ปรัชญาปฏิบัตินิยม ปรัชญาปฏิบัตินิยมให้ความสนใจอย่างมากต่อการ “ปฏิบัติ หรือ การลงมือกระทำ” เน้นให้ผู้เรียนเน้นการลงมือทำ เด็กได้รับอิสระริเริ่มความคิดและลงมือทำตามความคิด ผู้เรียนจะได้รับประสบการณ์และการแก้ปัญหาด้วยตนเอง

หลักการสำคัญของปรัชญาการศึกษาแบบพิพัฒนนิยมหรือพิพัฒนาการนั้นมี 6 ประการดังนี้
1. การศึกษาคือชีวิตมิใช่เป็นการเตรียมตัวเพื่อชีวิต
2. การเรียนควรจะเรียนในสิ่งที่มีความสัมพันธ์โดยตรงกับความสนใจของเด็ก
3. การเรียนโดยวิธีแก้ปัญหาสำคัญกว่าการจำเนื้อหาวิชา
4. บทบาทของครูเป็นผู้แนะนำมิใช่ผู้บงการ หรือสั่งการ
5. โรงเรียนควรส่งเสริมให้เด็กรู้จักร่วมมือกัน มิใช่ส่งเสริมให้มีการแข่งขันกัน
6.วิถีทางประชาธิปไตยเท่านั้นที่จะส่งเสริมให้เกิดความสัมพันธ์กันอย่างเสรีใน ทางความคิดและบุคลิกภาพซึ่งสิ่งนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความเจริญงอก งามอย่างแท้จริง

ปรัชญาการศึกษาแบบพิพัฒนนิยมนั้น ถือว่าครูมีหน้าที่ในการจัดประสบการณ์ที่ดีและเหมาะสมให้กับเด็ก ครูจะต้องเป็นผู้รอบคอบและมีประสบการณ์อย่างกว้างขวางในวิชาที่สอน ครู ต้องเป็นผู้มีบุคลิกดีมีความเห็นอกเห็นใจยอมรับในเรื่องความแตกต่างระหว่าง บุคคลของเด็กรู้จักดัดแปลงสภาพภายในโรงเรียนและห้องเรียนให้เหมาะสมกับ ความต้องการและความสามารถของเด็กแต่ละคนได้อย่างเหมาะสมครูต้องสามารถ ควบคุมตนเองและสามารถแก้ไขปัญหาเฉพาะหน้าได้ ครูเป็นผู้ให้คำแนะนำให้เด็กเกิดการเรียนรู้ด้วยตนเองมิใช่ผู้สั่งการหรือ กระทำเสียเอง

ปรัชญาอัตนิยม การ จัดการศึกษาตามปรัชญานี้จึงให้ความสำคัญกับการให้เสรีภาพแก่ผู้เรียนรู้ ให้ผู้เรียนเป็นตัวของตัวเองมากที่สุด สนับสนุนส่งเสริมผู้เรียนในการค้นหาความหมายและสาระสำคัญของชีวิตของเขาเอง เช่น ศิลปะ ปรัชญา การเขียน การอ่าน การละคร
การศึกษา แบบอัตถิภาวะนิยมจะให้ผู้เรียนพัฒนาความเป็นมนุษย์ของตัวเองอย่างเต็มที่ให้ รู้จักใช้เสรีภาพในการเลือกและมีความรับผิดชอบต่อการตัดสินใจของตน การศึกษาจะต้องช่วยให้มนุษย์เข้าใจตัวเอง เข้าใจโลก และความสำคัญของการมีอยู่ (existence) การศึกษาจะต้องช่วยให้มนุษย์สามารถเผชิญกับปัญหาต่าง ๆ ได้อย่างฉลาด และสามารถหาความหมายออกมาจากสิ่งที่ไร้ความหมาย คือจุดมุ่งหมายอย่างกว้าง ๆ ของปรัชญาการศึกษา

ครูจะต้องระลึกเสมอว่า ผู้เรียนเป็นผู้ที่สำคัญที่สุดในกระบวนการของการศึกษา ดังนั้นครูจะต้องให้ความสำคัญต่อผู้เรียนอย่างเต็มที่ จะต้องสอนเพื่อพัฒนาผู้เรียนอย่างรอบด้าน ไม่เห็นเนื้อหาวิชาที่ตนเสนอสำคัญกว่าผู้เรียน จะต้องระลึกเสมอว่าผู้เรียนทุกคนมีความแตกต่างกัน และมีความเปลี่ยนแปลงอยู่เสมอ
ดังนั้นครูจึงควรสนับสนุนให้ผู้เรียนระบาย ความรู้สึกภายในของตนออกมาให้มากที่สุด และทำสิ่งที่ตัวเองเลือกเอง เพื่อที่จะสร้างลักษณะที่เป็นแก่นของตนเอง ครูจะต้องช่วยให้ผู้เรียนเห็นว่า เขาเป็นผู้รับผิดชอบต่ออนาคตของตัวเขาเอง เขามีเสรีภาพในการเลือกบุคลิกของตัวเอง
การวิเคราะห์ข้อดี ข้อเสีย ของลัทธิอัตถิภาวนิยม
ข้อดี
1. เป็นลัทธิที่ให้เสรีภาพกับบุคคลโดยทั่วไปในการจะประกอบ หรือ ปฏิบัติการงานต่างๆ ได้ ตามที่ตนเองชอบและสนใจ รวมทั้งมีประสบการณ์ได้อย่างอิสระเสรี
2. เป็นลัทธิที่เปิดโอกาสให้บุคคลได้แสดงออกซึ่งความรู้ ความสามารถในการปฏิบัติงานหรือกิจกรรม ตามความปรารถนาของตนเองได้ตามต้องการ
3. เป็นลัทธิที่ใช้เหตุผลในการปฏิบัติงานและดำรงชีวิต ซึ่งบุคคลสามารถที่จะเลือกงานที่จะปฏิบัติได้ด้วยตนเอง รวมทั้งเป็นการฝึกให้บุคคลรู้จักวิเคราะห์งานได้
4. เป็นลัทธิที่ช่วยให้บุคคลได้รู้จักคุณค่าตนเอง การประเมินตนเอง นอกจากนั้นยังช่วยให้มนุษย์ค้นพบความเป็นตัวเองมากยิ่งขึ้น
5. เป็นลัทธิที่ทำให้บุคคลเข้าใจถึง สภาพความรู้สึก สติปัญญา และ เสรีภาพของตนเองได้ดีมากยิ่งขึ้น
6. เป็นลัทธิที่ทุกครั้งเมื่อมีการตัดสินใจลงไปแล้ว( ทำตามความต้องการที่แท้จริงของเรา ) ผู้ตัดสินใจจะต้องรับผิดชอบกับผลที่จะเกิดขึ้นตามมาภายหลัง ซึ่งนับว่าเป็นข้อดีของลัทธินี้
7. เป็นลัทธิที่ลดขั้นตอนในการปฏิบัติงาน แทนที่จะต้องผ่านขั้นตอนหลายกระบวนการในการปฏิบัติงาน ก็ลดขั้นตอนให้น้อยลงมา ทำให้เกิดความรวดเร็วในการปฏิบัติงาน
8. เป็นลัทธิที่มีเนื้อหาในบางวิชาตามหลักสูตร เป็นเนื้อหาที่อิสระ ทำให้ผู้เรียนเป็นบุคคลอิสระ และสามารถค้นพบทัศนคติภายในของตนเองและเป็นตัวของตัวเองได้ วิชาเหล่านี้คือ วิชาจำพวกมนุษย์ศาสตร์ ได้แก่ ศิลปะ วรรณคดี เป็นต้น
9. เป็นลัทธิที่ถือว่า ผู้เรียน คือ บุคคลสำคัญที่สุดในกระบวนการเรียนรู้
10. เป็นลัทธิที่เน้นให้ครูผู้สอน ต้องมีความประสบการณ์และความรู้อย่างแท้จริง รวมทั้งต้องมีขีดความสามารถสูงในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ให้มีประสิทธิภาพมากที่สุดต่อผู้เรียน
11. เป็นลัทธิที่เน้นจุดหมายของการไปเรียน เพื่อให้ผู้เรียนรู้จักตนเอง และเข้าใจจุดมุ่งหมายของชีวิต เพื่อที่จะทำให้นักเรียนมีความพร้อมในการเรียนและเป็นการเตรียมความพร้อมให้ นักเรียนเป็นคนที่มีคุณภาพในอนาคต
ข้อเสีย
1. การใช้เสรีภาพตามลัทธิอัตถิภาวนิยมมากจนเกินขอบเขต หรือ ตามความพอใจของตนเองมากจนเกินไป โดยไม่คำนึงถึงเหตุผลที่ควรจะเป็น จะทำให้สังคมโดยส่วนรวมเกิดความเสียหายได้
2 การเปิดโอกาสให้บุคคลได้แสดงออกซึ่งความรู้ ความสามารถ หากขัดต่อหลักศีลธรรม จริยธรรม และ คุณธรรม ที่ดีงามแล้วนั้น จะส่งผลกระทบต่อสังคมโดยส่วนรวมเป็นอย่างมาก
3. เป็นลัทธิที่บุคคลบางฝ่ายยังให้ความนับถือในพระเจ้า และ นำความเชื่อในพระเจ้าเข้ามามีอิทธิพลต่อการดำรงชีวิตในประจำวัน ซึ่งบางครั้งความเชื่อนั้นอาจจะใช้ได้กับสถานการณ์หนึ่ง แต่ในอีกหลายๆสถานการณ์ไม่สามารถนำเข้ามาใช้ได้ จึงเป็นผลเสียมากกว่าผลดีในการปฏิบัติ
4. การที่บุคคลใช้ตัวตนของตนเองในการเลือกปฏิบัติกิจกรรมต่างๆ โดยไม่ผ่านมติของที่ประชุมหรือไม่ผ่านขั้นตอนของประชาธิปไตย อาจส่งผลกระทบและเกิดความเสียหายกับงานที่ปฏิบัติขึ้นได้ ทั้งนี้ เป็นเพราะการตัดสินใจปฏิบัติงานมาจากบุคคลเพียงคนเดียว ขาดการกลั่นกรองจึงทำให้งานเกิดความบกพร่องและเสียหายได้
5. ในด้านหลักสูตรการเรียนการสอน หากครูผู้สอนขาดความรู้และประสบการณ์อย่างแท้จริงแล้ว ก็จะส่งผลกระทบต่อการเรียนของนักเรียนเป็นอย่างยิ่ง ดังนั้น กระบวนการสรรหาครูผู้สอนจึงต้องเพิ่มขั้นตอนในการสรรหาให้มากขึ้น จึงเป็นการปิดโอกาสของบุคคลบางคนที่ต้องการที่จะเข้ามาสอนได้ เพราะไม่ผ่านขั้นตอนพิเศษในการคัดเลือก
6. แนวทางจริยธรรมของอัตถิภาวนิยมจะปฏิเสธที่จะประพฤติปฏิบัติตามกฎสัมบูรณ์ ( absolute law ) เพราะจะทำให้เสียเสรีภาพในการเลือก ซึ่งขัดกับสภาพความเป็นจริงในปัจจุบัน ซึ่งบุคคลจะต้องถือปฏิบัติตามกฎหมาย ระเบียบ ข้อบังคับ ของประเทศชาติ ไม่เช่นนั้นสังคมก็จะเกิดความสับสนและวุ่นวายขึ้นได้
7. ด้านสุนทรียศาสตร์ ลัทธิอัตถิภาวนิยม จะให้เสรีภาพบุคคลที่จะเลือกและกำหนดคุณค่าทางสุนทรียะของตนเอง ซึ่งคุณค่านั้นไม่ได้มาจากบุคคลภายนอกหรือองค์กรภายนอก จึงขัดแย้งกับสภาพความเป็นจริงในปัจจุบันที่จะต้องมีการพัฒนาปรับปรุงงานให้ มีประสิทธิภาพมากขึ้น จึงจำเป็นต้องรับปัจจัยจากภายนอกเข้ามาเป็นแรงเสริม
8. อัตถิภาวนิยมเป็นลัทธิที่สนใจในสิ่งเฉพาะมากกว่าสิ่งสากล และ สนใจในปัจเจกบุคคลมากกว่ามวลมนุษย์หรือมนุษย์โดยส่วนรวม ดังนั้น ผลเสียจะตกอยู่กับสภาพสังคมโดยส่วนรวมเพราะ ปัญหาใดๆที่เกิดกับสังคมส่วนรวมจะได้รับการแก้ไขภายหลัง เนื่องจากบุคคลจะมองที่ตัวตนเองเป็นหลัก ส่วนปัญหาสังคมจะเป็นปัญหารองลงไป

ปรัชญาปฏิรูปนิยม

ปรัชญานี้เชื่อว่า การปฏิรูปสังคม หรือการจัดระเบียบของสังคมให้ดีขึ้น การศึกษาเป็นเครื่องมือสำคัญที่สามารถทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในสังคมได้

ดร. กิติมา ปรีดีดิลก ได้สรุปหลักการศึกษาของลัทธิปฏิรูปนิยม ไว้ดังนี้

จุดมุ่งหมายหลักของการศึกษา คือโครงการต่างๆที่จะใช้ในการปฏิรูปสังคม สร้างสรรค์ความเจริญให้แก่สังคม การศึกษาเป็นการมุ่งสร้างระเบียบสังคมใหม่ ค่านิยม และวัฒนธรรมของสังคมใหม่ด้วย และต้องอยู่บนพื้นฐานของสภาพสังคม และเศรษฐกิจของโลกยุคปัจจุบัน

สังคมใหม่ที่จะมุ่งสร้างนั้น ควรจะเป็นสังคมประชาธิปไตยอย่างแท้จริง โดยที่ประชาชนมีส่วนในการควบคุมสถาบันและทรัพยากรต่างๆของประเทศ เช่นมีส่วนในการบริหารดำเนินงานของโรงเรียน

การศึกษาจะต้องมีส่วนช่วยเปลี่ยนแปลงความคิดของคนในการสร้างสังคมให้เป็นไปในทางสร้างสรรค์ ถือว่าการศึกษามีความสำคัญในการสร้างสังคมมากพอๆกับด้านการเมือง

เด็ก โรงเรียน และการศึกษา ถูกหล่อหลอมด้วยพลังทางสังคม และวัฒนธรรม การศึกษาจึงเป็นสิ่งที่จะช่วยให้คนได้ตระหนักในสภาพเป็นจริงของสังคม ไม่เพียงแต่ช่วยในการพัฒนาเท่านั้น จะต้องมีส่วนต่อการวางแผนพัฒนาสังคมด้วย

ครูจะต้องทำให้นักเรียนเข้าใจว่ามีความจำเป็นที่จะต้องสร้างสังคมใหม่ขึ้นแต่การสร้างสรรค์นี้จะต้องเป็นไปอย่างสอดคล้องกับแนวทางประชาธิปไตย แม้ว่าบางครั้งนักเรียนอาจจะมีความคิดเห็นขัดแย้งกับครู ก็ต้องเปิดโอกาสให้เขาได้แสดงออกอย่างเสรี จนกว่าจะมีการยอมรับเป็นมติของมหาชนออกมา

วิธีการและจุดหมายปลายทางของการศึกษาต้องทำให้ทันสมัยอยู่เสมอ เพื่อให้ตรงกับความต้องการของวิกฤตการณ์ทางวัฒนธรรมในปัจจุบัน และเพื่อให้เข้ากันได้กับการค้นพบและความก้าวหน้าทางด้านพฤติกรรมศาสตร์

เนื้อหาวิชา วิธีการสอน ระเบียบการบริหารงาน และวิธีการฝึกอบรมคนที่จะมาเป็นครูล้วนต้องได้รับการปฏิรูปใหม่ ให้สอดคล้องกับทฤษฎีธรรมชาติของมนุษย์ และการเปลี่ยนแปลงต้องเป็นไปอย่างมีเหตุผล และเป็นไปตามวิถีทางวิทยาศาสตร์ เราต้องสร้างหลักสูตรที่บรรจุวิชา และเนื้อหาย่อยๆ อื่นๆ ที่มีความเกี่ยวเนื่องพาดพิงกัน ไม่แบ่งแยกว่าแต่ละวิชามีความสำคัญแยกกันออกไป หลักการทฤษฎีนี้ก่อให้เกิดโรงเรียนชุมนุมชนขึ้น

ทรรศนะของนักปฏิรูปนิยมที่เกี่ยวกับครูและบทบาทของครูดังกล่าวข้างต้นนี้ ทำให้มองเห็นอย่างชัดเจนว่าครูจะต้องเป็นบุคคลที่ได้รับการฝึกอบรมในวิชาชีพของตนอย่างดียิ่ง เพื่อให้เหมาะสมกับบทบาทในการเป็นผู้นำของชุมชน ทั้งในด้านวิชาการและความประพฤติ อันเหมาะสมกับสภาพของสังคมประชาธิปไตยในสมัยปัจจุบัน ทรรศนะของนักปฏิรูปนิยมที่เกี่ยวกับครูดังกล่าวนี้ มีลักษณะบางส่วนที่คล้ายคลึงกันกับทรรศนของนักการศึกษาฝ่ายนวโธมัสนิยม (Neo-Thomist) นั่นคือ นักการศึกษาทั้งสองฝ่าย (คือทั้งฝ่ายปฏิรูปนิยมและฝ่ายนวโธมัสนิยม) ต่างก็เชื่อว่าครูที่ดีจะต้องทำหน้าที่เป็นผู้นำทั้งในด้านวิชาการ และความประพฤติ แต่ในส่วนที่แตกต่างกันย่อมได้แก่ ในขณะที่นักการศึกษาฝ่ายนวโธมัสนิยม มุ่งหมายให้ครูเป็นแบบอย่างเพื่ออนุรักษ์และธำรงสังคมให้คงอยู่สืบไป

ปรัชญาการศึกษาผสมผสาน เนื่องจากปรัชญาการศึกษาแต่ปรัชญาล้วนมีแง่มุมและมีจุดเด่นกันไปคนละแบบจึงมีการเอาประเด็นต่างๆของปรัชญามากกว่า1ปรัชญามาผสมผสานขึ้นเพื่อนำไปใช้ในสถานการณ์ที่ต้องการ

ความหมายของคณิตศาสตร์

มีคนจำนวนน้อยมากที่จะสงสัยในความหมายของคำว่าคณิตศาสตร์ เพราะส่วนใหญ่จะเข้าใจว่าเป็นศาสตร์ที่เกี่ยวกับตัวเลขและการคำนวณ จากที่เกริ่นมาหลายๆ คนคงจะสงสัยและเริ่มอยากรู้แล้วว่าคณิตศาสตร์มีความหมายว่าอย่างไร กลุ่มของพวกเราจึงสรรหาสาระดีๆ มาให้เพื่อนๆ ได้รับรู้กันค่ะ

ตั้งแต่มนุษย์เราเกิดมามองดูโลกนะค่ะ ชีวิตของเราเริ่มเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยที่เราไม่ทันจะรู้ตัวด้วยซ้ำว่าตัวเราไปเกี่ยวข้องได้อย่างไร ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ได้เข้ามามีบทบาทเกี่ยวข้องในการดำรงชีวิตตั้งแต่แรกเกิด เรายังไม่ได้เข้าโรงเรียนบิดามารดา หรือญาติพี่น้องจะพร่ำสอนให้เรารู้จักกับตัวเลข เพื่อนำมาประกอบการใช้ชีวิตในวันก่อนเข้าเรียนบางครั้งมนุษย์จะเรียนรู้ตัวเลขจากธรรมชาติ สภาพแวดล้อมรอบ ๆ ตัวเราจะช่วยให้เกิดการเรียนรู้มากขึ้น

เมื่อถึงวัยเข้าเรียนมีครู อาจารย์ สอนให้อ่านออกเสียงและเขียนหนังสือได้ สอนให้เรารู้จักตัวเลข นับตัวเลข และเขียนตัวเลขได้ พร้อมทั้งสอนให้รู้จักการบวก ลบ คูณ และหารเป็น การอ่านหนังสือได้และคิดเลขเป็นมีความสำคัญต่อมนุษย์ทุกคน การอ่านหนังสือได้และคิดเลขเป็น มีความสำคัญต่อมนุษย์ทุกคน การอ่านหนังสือออกทำให้เป็นคนฉลาดและเรียนรู้ได้ดีขึ้น มีความรอบรู้เรื่องต่าง ๆ ที่เป็นเรื่องราวของคนในอดีตและเรื่องของคนในยุคปัจจุบัน การที่เราได้คิดได้รู้โดยเฉพาะการคิดเลขทำให้คนเรามีสติปัญญา รู้จักการใช้ความคิด และความเข้าใจการใช้เหตุและผล เราจะต้องอาศัยความรอบรู้และการรู้จักใช้ความคิด ควบคู่กันไปในการประกอบอาชีพและการดำรงชีวิตอยู่ในสังคม

การใช้ตัวอักษรและตัวเลขมีความจำเป็นอย่างมากเป็นที่ยอมรับกันมาทุกยุคทุกสมัย ในอดีตประวัติศาสตร์ไทยสมัยกรุงสุโขทัย ในปี พ.ศ. 1826 กษัตริย์สมัยพ่อขุนรามคำแหงมหาราช พระองค์ได้ทรงประดิษฐ์ลายสือไท ขึ้น พระองค์ทรงประดิษฐ์ทั้งตัวอักษรและตัวเลขเป็นของเราเอง

เราจะเห็นว่าความผูกพันกับตัวเลข การคิดเลข และการนำตัวเลข มาใช้ในชีวิตประจำวันนั้นมีมานานแล้ว จนเราไม่สามารถแยกแยะตัวเลขและการใช้ออกไปจากตัวเราได้ เราจึงมีวิวัฒนาการการใช้ตัวเลขและการคิดที่มีการพัฒนารูปแบบแนวคิดมาตลอดตามยุคตามสมัยจนถึงปัจจุบัน

เมื่อเรารู้จักตัวเลข รู้จักการเขียน การอ่าน การบวก การลบ การคูณ และการหารตัวเลข สิ่งดังกล่าวที่มาเกี่ยวข้องกับตัวเราเราต้องทำความสะอาดรู้จักและเข้าใจความหมายของคำต่อไปนี้
"คณิต" หมายถึง การนับ การคำนวณ วิชาคำนวณ การประมาณ
"คณิตศาสตร์" หมายถึง วิชาว่าด้วยการคำนวณหรือตำรา

คณิตศาสตร์ เป็นวิชาที่มีความจำเป็นในการประกอบอาชีพ เช่น ด้านกสิกรรม อุตสาหกรรม และพาณิชยกรรม ผู้มีอาชีพเป็นสถานปนิก วิศวกรออกแบบ และควบคุมการก่อนสร้าง นักวิทยาศาสตร์คิดค้นสิ่งแปลก ใหม่ นักเศรษฐศาสตร์มีความจำเป็นที่จะต้องมีความรู้ ความสามารถ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ หรือตัวเลขต่าง ๆ ในการประกอบกิจกรรมนั้น ๆ

จากที่กล่าวข้างต้นนั้นเพื่อนๆ คงจะเห็นความสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์กันบ้างแล้ว เราไปดูความ หมายของคำว่า คณิตศาสตร์ กันค่ะ คำว่าคณิตศาสตร์ได้มีผู้ที่ให้นิยามไว้มากมาย กลุ่มของพวกเรา we_ math ได้ค้นคว้าหาความหมายจนเจอแหล่งข้อมูลแห่งหนึ่งที่น่าสนใจคือ " วิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี " ได้สรุปไว้ค่อนข้างน่าสนใจ ซึ่งขอนำเสนอบางส่วนดังนี้

1. คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผล ที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์

2. คณิตศาสตร์ เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์

3. คำ ว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ.

4. คำ ว่า "คณิตศาสตร์" ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics ถ้ามาจากคำภาษากรีก จะแปลได้ว่า "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" หรือแปลว่า "รักที่จะเรียนรู้".

5. ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths

6. โครง สร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย

7. คณิตศาสตร์ ใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม.

8. คณิตศาสตร์ถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก. นัก คณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภทสำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดย เฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน

9. นัก คณิตศาสตร์หลายคนทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบและเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้.

10. อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา

ยังไม่จบแค่นี้นะค่ะ เราไปดูความหมายของคำว่า คณิตศาสตร์ จากนักวิชาการคนอื่นๆ ที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้ดูสิค่ะ ว่า คณิตศาสตร์ของเรายังมีความหมายได้ กว้างขวางกว่าที่กล่าวมาแล้วหรือไม่

ยุพิน พิพิธกุล ได้สรุปความสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ไว้ว่า คณิตศาสตร์เป็นสิ่งสร้างสรรค์จิตใจ คำว่าคณิตศาสตร์ไม่ใช่หมายความเพียงตัวเลข ซึ่งเกี่ยวกับจำนวนต่าง ๆ และการคำนวณ คณิตศาสตร์มีความหมายมากกว่าพีชคณิตที่จะศึกษาเพียงรูปร่างและขนาด มีความหมายมากกว่าตรีโกณมิติซึ่งเกี่ยวกับการวัดระยะทาง มีความหมายมากกว่าวิชาสถิติ และวิชาแคลคูลัส ฯลฯซึ่งสรุปได้ดังนี้

1. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับการคิด เราใช้คณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่า ความคิดทั้งหลายนั้นเป็นความจริงหรือไม่ หรือเกือบจะเป็นจริง ด้วยวิธีการคิดจะทำให้เราสามารถแก้ปัญหาในทางวิทยาศาสตร์ อุตสาหกรรมและอื่น ๆ คณิตศาสตร์ทำให้คนที่รักวิชานี้ กลายเป็นคนอยากรู้อยากเห็น

2. คณิตศาสตร์เป็นภาษาอย่างหนึ่ง คณิตศาสตร์เป็นภาษาที่กำหนดเทอม สัญลักษณ์ที่รัดกุม สื่อความหมายได้ถูกต้อง เป็นภาษาที่มีตัวอักษรแสดงความหมายแทนความคิด เช่น อักษรจีน เป็นสัญลักษณ์แทนความคิด สมการ 3+5 = 8 ก็มีความหมายเช่นเดียวกัน คือใช้แทนความคิด เรา ไม่ต้องคิดมากว่าจะอ่านอย่างไร พอเห็นเราก็ทราบ ยิ่งไปกว่านั้น เราใช้อักษรแสดงความหมายแทนความคิดนี้ (ideograms) เป็นเครื่องมือที่จะใช้ฝึกทางสมอง ซึ่งสามารถช่วยเราให้เกิดการกระทำในการคิดคำนวณ การแก้ปัญหา การพิสูจน์ที่ยุ่งยากซับซ้อน ซึ่งถ้าเราใช้ภาษาธรรมดาก็ไม่สามารถที่จะทำได้

3. คณิตศาสตร์เป็นโครงสร้างที่รวมของความรู้ โครงสร้างของคณิตศาสตร์บางทีก็คล้ายกับโครงสร้างของปรัชญา และศาสตร์ที่เกี่ยวกับศาสนา เพราะเป็นโครงสร้างที่มีเหตุผล ซึ่งเริ่มต้นด้วยอนิยาม จุด เส้น ระนาบในเชิงเรขาคณิต ซึ่งจะอธิบายข้อคิดต่าง ๆ ที่สำคัญ เราจะเห็นว่าในวิชาเรขาคณิตก็มีเรื่องเกี่ยวกับสิ่งที่เห็นจริงแล้ว สัจพจน์ คุณสมบัติ กฎ ซึ่งทำให้เกิดความคิดที่จะเป็นรากฐานในการที่จะพิสูจน์เรื่องอื่นต่อไป

4. คณิตศาสตร์เป็นการศึกษาเกี่ยวกับแบบแผน ที่ว่ามีแบบแผนนั้น หมายความว่าจะต้องคิดอยู่ในแบบแผน หรือความคิดที่ตั้งไว้ เช่น คลื่นวิทยุ โครงสร้างของโมเลกุล ฯลฯ เรื่องต่าง ๆ เหล่านี้จะต้องมีแบบแผนของมัน ที่จะจำแนกได้ในทางคณิตศาสตร์

5. คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่งเหมือนกับศิลปะแขนงอื่น ๆ ความงามของคณิตศาสตร์ประกอบด้วยความมีระเบียบ และความกลมกลืนที่เกิดขึ้นภายใน นักคณิตศาสตร์พยายามแสดงออกถึงค่าสูงสุด ของความคิดและความสัมพันธ์ การสำรวจความคิดใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์ เป็นสิ่งท้าทายให้เกิดความคิดสร้างสรรค์

ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก นักคณิตศาสตร์กำหนด และพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะมากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี.เอช.ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology); แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวี่และนักปรัชญาทีได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา

องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และ แคลคูลัส เป็น หลักสูตรแกนใ นการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่นๆ